[急,20分]高一不等式之求证

√xy≤(x+y)/2
√yz≤(y+z)/2
√zx≤(z+x)/2

三式相加得
√xy+√yz+√zx≤(x+y)/2+(y+z)/2+(z+x)/2
√xy+√yz+√zx≤2(x+y+z)/2
√xy+√yz+√zx≤1
1+2(√xy+√yz+√zx)≤3
x+y+z+2(√xy+√yz+√zx)≤3
(√x+√y+√z)²≤3
√x+√y+√z≤√3

当且仅当x=y=z，即x=y=z=1/3时取等号

有均值不等式可得:
2sqr(xy)<=x+y......①
2sqr(zy)<=z+y......②
2sqr(xz)<=x+z......③
①+②+③得
2sqr(xy)+2sqr(xz)+2sqr(yz)<=2
因为z+y+z=1所以:
x+y+z+2sqr(xy)+sqr(xz)+sqr(yz)<=3
[sqr(x)+sqr(y)+sqr(z)]^2<=[sqr(3)]^2
左右开根号得:
sqr(x)+sqr(y)+sqr(z)<=sqr(3)